第一节 二重积分及其应用

一 数学概念与定义

定义 设 是有界闭区域 上的有界函数．将闭区域 任意分成 个小闭区域

，

其中 表示第 个小闭区域，也表示它的面积．在每个 上任取一点 ，作乘积 ，并作和 ．如果当各小闭区域的直径中最大值 趋于零时，上述和的极限总存在，则称此极限为函数 在闭区域 上的二重积分，记作 ，即

．

其中 叫做被积函数， 叫做被积表达式， 叫做面积元素， 与 叫做积分变量， 叫做积分区域， 叫做积分和．

二重积分的几何意义 如果 ≥0，被积函数 可解释为曲顶柱体的顶在点 处的竖坐标，所以二重积分 的几何意义就是曲顶柱体的体积．

二重积分的性质

比较二重积分与定积分的定义可知，它们的内涵是一致的，因此二重积分与定积分一样，有类似的性质．

性质1 被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，即

( 为常数)．

性质2 函数的和(或差)的二重积分等于各个函数的二重积分的和(或差)．例如

．

性质3 如果闭区域 被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在 上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和．例如 分为两个闭区域 与 ，则

．

这个性质表示二重积分对于积分区域具有可加性．

性质4 如果在 上， ， 为 的面积，则

．

性质5 如果在 上， ≤ ，则有不等式

≤ ．

特殊地，由于

≤ ≤ ，

又有不等式

≤ ．

性质6 设 、 分别是 在闭区域 上的最大值和最小值， 是 的面积，则有

≤ ≤ ．

性质7(二重积分的中值定理) 设函数 在闭区域 上连续， 是 的面积，则在 上至少存在一点 使得下式成立：

.

二 重点、难点分析

1) 利用直角坐标计算二重积分 设积分区域 可以用不等式 ≤ ≤ ， ≤ ≤ 表示，则有

，

这就是把二重积分化为先对 、后对 的二次积分的公式．同理，当积分区域 可以用不等式

≤ ≤ ， ≤ ≤

来表示时，则有

，

这就是把二重积分化为先对 、后对 的二次积分的公式．

当积分区域 可以用上述两种表示方法表示时，则有二重积分交换积分次序公式

.

2) 利用极坐标计算二重积分

设积分区域 可以用不等式 ≤ ≤ ， ≤ ≤ 来表示, 则有将极坐标系中的二重积分化为二次积分的公式

.

二重积分的计算是本节的重点和难点内容,其要点有

⑴ 画出积分区域 的图形；

⑵ 选择坐标系,当 是圆域或圆的一部分, 被积函数 时, 利用极坐标计算二重积分比较简单；

⑶ 根据积分区域和被积函数的表达式，确定积分次序，化二重积分为二次积分；

⑷ 计算二次积分的值。

三 原理、公式和方法

定理（二重积分存在的充分条件） 当 在闭区域 上连续时，函数 在 上的二重积分一定存在．

利用微元法可得二重积分在几何与物理方面应用的公式：

1） 设曲面 由方程 给出， 为曲面 在 面上的投影区域，函数 在 上

具有连续偏导数,则曲面 的面积

．

这就是计算曲面面积的公式．

设曲面的方程为 或 ，可分别把曲面投影到 面上(投影区域记作 )或 面上(投影区域记作 )，类似地可得

，

或 ．

2）设有一平面薄片，占有 面上的闭区域 ，在点 处的面密度为 ，假定 在 上连续，则该薄片的重心的坐标为

，

其中 为薄片的质量．

3）在2）的假设条件下，该薄片对于 轴的转动惯量 以及对于 轴的转动惯量 可按如下公式计算

。

四 典型例题分析

例1 计算二重积分 ，其中 是矩形闭区域： ≤1, ≤1.

解 画出积分区域 的图形, 化二重积分为二次积分,得

例2 计算 ，其中 是由抛物线 及直线 所围成的闭区域．

解 画出积分区域 的图形, 化二重积分为先对 后对 的二次积分,得

注意 化二重积分为先对 后对 的二次积分,计算比较繁琐.

例3计算 ，其中 是由 所确定的闭区域

解 画出积分区域 的图形, 化二重积分为先对 后对 的二次积分,得

注意 若将二重积分化为先对 后对 的二次积分,计算不能进行下去.

例4 求底圆半径相等的两个直交圆柱面 及 所围立体的体积和表面积．

解 由对称性，所求立体体积为

所求立体的表面积为

例5 设薄片所占的闭区域 是介于两个圆 之间的闭区域，面密度为 ，求薄片的重心.

解 薄片的质量为

由对称性知