第四节 一阶线性微分方程

一 数学概念与定义

定义 方程

(1)

叫做一阶线性微分方程，因为它对于未知函数 及其导数是一次方程．如果 则方程(1)称为齐次的；如果 不恒等于零，则方程(1)称为非齐次的．

方程

叫做伯努利(Bernoulli)方程．

二 一般知识点分析

设(1)为非齐次线性方程．为了求出非齐次线性方程(1)的解，我们先把 换成零而写出

． (2)

方程(2)叫做对应于非齐次线性方程(1)的齐次线性方程．方程(2)是可分离变量的，分离变量后得

，

两端积分，得

，

或 ，

这是对应的齐次线性方程(2)的通解．

现在我们使用所谓常数变易法来求非齐次线性方程(1)的通解．这方法是把(2)的通解中的 换成 的未知函数 ，即作变换

， (3)

于是 ． (4)

将(3)和(4)代入方程(1)得

，

即 ．

两端积分，得 ．

把上式代入(3)，便得非齐次线性方程(1)的通解

． (5)

将(5)式改写成两项之和

．

上式右端第一项是对应的齐次线性方程(2)的通解，第二项是非齐次线性方程(1)的一个特解(在(1)的通解(5)中取 便得到这个特解)．由此可知，一阶非齐次线性方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和．

在伯努利(Bernoulli)方程中，令 ，便得到 的一阶非齐次线性方程，而一阶非齐次线性方程的问题已经解决。

三 典型例题分析

例1 求方程

的通解．

解 这是一个非齐次线性方程．先求对应的齐次方程的通解．

，

，

，

。

用常数变易法．把 换成 ，即令

， （6）

那末 ，

代入所给非齐次方程，得

．

两端积分，得 ．

再把上式代入(6)式，即得所求方程的通解为

．

例2 求方程

的通解．

解 这是伯努利方程（n=2）,以 除方程的两端，得

，

即 ．

令 ，则上述方程成为

．

这是一个线性方程，它的通解为

．

以 代 ，得所求方程的通解为

．