第四节  函数展开成幂级数

一 数学概念与定义

定义   如果 在点 的某邻域内具有各阶导数 ，则称幂级数

              

为函数 的泰勒级数．当 时， 的泰勒级数

，                          

又叫做函数 的麦克劳林级数．

可以证明，如果 能展开成x的幂级数，那末这种展开式是唯一的，它一定与 的麦克劳林级数一致．

二 原理、公式和方法

定理  设函数 在点 的某一邻域 内具有各阶导数，则 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是 的泰勒公式中的余项 当 时的极限为零，即

．

三 一般知识点分析

把函数 展开成x的幂级数的步骤：

第一步  求出 的各阶导数 ，如果在 处某阶导数不存在，就停止进行，例如在 处， 的三阶导数不存在，它就不能展开为x的幂级数．

第二步  求函数及其各阶导数在 处的值：

．

第三步  写出幂级数

，

并求出收敛半径R．

第四步  考察当x在区间 内时余项 的极限

    ( 在0与x之间)

是否为零．如果为零，则函数 在区间 内的幂级数展开式为

．

     将满足定理条件的函数 展开成x的幂级数的方法有两种，一种是“直接展开法”，就是按上述步骤将满足定理条件的函数 展开成x的幂级数的方法；另一种是“间接展开法”，就是利用已知的几个函数的展开式和幂级数的运算性质，将满足定理条件的函数 展开成x的幂级数的方法。

用“直接展开法”可以得到的幂级数展开式有：

(1) ．           

(2) ． 

（3） .

（4） ．

 

  四 典型例题分析

  例1将下列函数展开成x的幂级数，并求展开式成立的区间：

(1) ；                  (2) .

解  （1）因为 ，则

于是得

     （2）令 则

对上式取定积分，并注意 得

例2  将函数 展开成 的幂级数．

    解  因为

而

，

，

 

所以